越而胜己 / Beyond awesome

(本页一些$\rm\LaTeX $数学公式需要一些时间加载。)

上次信息营离开北大,还感叹终于可以走了。然而这次收拾行李离开北大时,心中却有万般的不舍。也许这次走了就再也不能回来了。

这次体验营把同一地区的学生放在同一个班。看似不明智的决定,但是不可否认,地区上的隔离会导致交流上的壁障。而上海的同学聚在一起,尽管上中华二的针锋相对,仍然打成一片。毕竟大家都是上海人,毕竟说话时也不用考虑非上海同学的各种神奇感受。而各种破冰活动和集体项目也成功地把我们绑在一起。这次夏令营与同学们留下的感情比在信息营深厚得多。而体验营的班主任周凌岳学长也特别萌萌哒,带我们去平常吃不到的食堂吃饭,去后海酒吧街玩。

其实上次信息营我还一直在吐槽北大校园好糟糕,这次的夏令营彻底刷新了我对北大的印象——原来北边还有一个未名湖区呀,上次都没看到未名湖。未名湖区比我去过的任何公园都漂亮。定向越野的时候逛遍了整个北大,发现了藏在深处的哲学系、中文系,感叹人文学部的学长们生活如此幸福。

想写一下的是考试考下来的反思。这次考试上午8:30~12:00考语数外。这里对数学题目加以记录:

  1. 正数$a,b,c$满足$a+b+c = 1$. 求$\frac{abc}{(1-a)(1-b)(1-c)}$的最大值.
  2. 找一个整系数多项式使得$f(\sin{10^o}) = 0$.
  3. $P$为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$上任意一点, 设$P$与椭圆两焦点连线段夹角为$\alpha$, 求$P$与椭圆两焦点构成三角形的面积.
  4. 已知$n$是正整数,求证$\displaystyle\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i^2}} < \frac{5}{3}$.
  5. 求证:$a,b,c$为任意三角形三边长, $k$为实数且满足$a^k+b^k=c^k$, 则$k\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$.

其中1-3题是文理考生都做的题目,可以看见题目十分简单。然而我第二题并没有做出来。现在写一下正确的解题过程,相信读者们也都已经想到:

$$ \begin{align} & 2\sin{30^o} - 1 = 0 \\ &\Rightarrow 2\sin{(3\times10^o)} - 1 = 0 \\ &\Rightarrow 2(3\sin{10^o} - 4\sin^3{10^o}) - 1 = 0 \\ &\Rightarrow f(x) = -8x^3+6x-1 \end{align} $$

其中正弦三倍角公式:

$$ \begin{align} \sin{3x} & = \sin{(2x + x)} \\ & = \sin{2x}\cos{x} + \cos{2x}\sin{x} \\ & = 2\sin{x}\cos^2{x} + (1-2\sin^2{x})\sin{x} \\ & = 2\sin{x}(1-\sin^2{x}) + (1-2\sin^2{x})\sin{x} \\ & = 3\sin{x} - 4\sin^3{x}. \end{align} $$

T^T 然而我当时并没有做出来。分析原因,三倍角公式不熟悉是首要因素。其实当时想到了使用三倍角公式,却认为其中可能有不能消除的cos就没有算下去。认为题目太难超出自己能力范围就放弃了……悔恨。

刚才问了下老刘第四题的解法,这里也记录下来。看这道题第一眼就想起来AP Calc的一堆问题然而我已经一点细节都不记得了 = =。 然而看来并没有这么复杂。

\begin{align} \sum_{i=1}^n\frac{1}{i^2} & = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{n^2} \\\\ & < 1 + \frac{1}{4}+ \frac{1}{(3-1)\times(3+1)} + ... + \frac{1}{(n-1)(n+1)} \\\\ & = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{n-1} -\frac{1}{n+1}) \\\\ & = \frac{5}{4}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) \\\\ & < \frac{5}{4} + \frac{1}{2}\times\frac{5}{6} \\\\ & = \frac{5}{3}. \end{align}

而物理化学题目根本看不懂。再见。我问了李沉简教授关于化学考的完全不是学过的内容的问题。他的答复是没办法,帮不了我。我这十七年都学了些什么啊。

北大再见了。